最尤推定の良問 ~ 鯉問題 ~
最尤推定の良さげな問題を見つけた.
出典はこちらの本↓
最近だとソフトカバーになっているらしい.
[46]ある池に棲息する魚の数 を推定するために 匹の魚を捕獲して, これに目印をつけて再び池に放し, しばらくしてから, 匹の魚を捕獲した. この 匹の中に, 目印をつけたものが 匹いたとすれば, の最尤推定値はいくらであるか。
まず, それぞれの場合の数を求めると,
-
匹の魚から 匹の魚を捕獲する仕方は 通り
-
目印の付いた 匹の魚と, ついていない 匹の魚を捕獲することで, 匹の魚を捕獲するという仕方は 通り(目印の付いた 匹の魚から 匹捕獲し, 目印のない 匹の魚から 匹捕獲する)
であるから, 問題にあるように魚を捕獲してくる確率は,
になる.
この確率を に関して最大化すれば, の最尤推定値を与えたことになる.
尤度関数としてこの確率を
とおくと,
となる.
であるから, ガウス記号を用いると,
- ,
つまり,
となり, の最尤推定値は となる.
確率の最大化と考えると, 大学入試でもなくはない問題だと思った.